NộI Dung

• Các bước
• Lời khuyên

Đối với những người gặp khó khăn với toán học, nhìn thấy biểu tượng của căn bậc hai có thể gây ớn lạnh. Tuy nhiên, các vấn đề liên quan đến nhà điều hành này không khó như chúng xuất hiện. Đôi khi, các bài toán căn bậc hai đơn giản có thể dễ dàng như một phép nhân hoặc phép chia đơn giản. Mặt khác, những vấn đề phức tạp hơn có thể nhiều công việc hơn. Tuy nhiên, với cách tiếp cận phù hợp, tất cả chúng sẽ trông dễ dàng. Bắt đầu thực hành các bài toán về căn bậc hai ngay bây giờ và học kỹ năng toán học mới này căn bản!

Các bước

Phần 1/3: Hiểu khái niệm về căn bậc hai và căn bậc hai

1. 

   Trước khi hiểu căn bậc hai, trước tiên hãy hiểu bình phương của một số là gì. Nó rất dễ hiểu. Để bình phương một số, chỉ cần nhân nó với chính nó. Ví dụ: 3 bình phương giống với 3 × 3 = 9 và 9 bình phương giống với 9 × 9 = 81. Các hình vuông được biểu thị bằng một chữ "2" nhỏ ở phía trên bên phải của số sẽ được nâng lên, như thế này: 3, 9, 100, v.v.
   • Để thực hành khái niệm, hãy cố gắng bình phương một vài số nữa. Hãy nhớ rằng, bình phương một số chỉ đơn giản là nhân nó với chính nó. Bạn có thể làm điều này ngay cả với số âm, nhưng hãy nhớ rằng trong trường hợp này, câu trả lời sẽ luôn là số dương. Ví dụ: -8 = -8 × -8 = 64.

2. 

   
   
   Để tìm căn bậc hai, hãy tìm "nghịch đảo" của chiết áp. Biểu tượng gốc (√, còn được gọi là "gốc") về cơ bản có nghĩa là "đối lập" với ký hiệu. Khi bạn nhìn thấy một căn, hãy tự hỏi: “Tôi có thể nhân với chính nó số nào để kết quả là số trong căn?” Ví dụ, khi bạn thấy √ (9), hãy thử tìm số bình phương, bằng chín. Trong trường hợp này, câu trả lời sẽ là số bavì 3 = 9.
   • Một ví dụ khác: hãy tìm căn bậc hai của 25 (√ (25)). Điều này có nghĩa là chúng ta cần tìm số bình phương, bằng 25. Vì 5 = 5 × 5 = 25, chúng ta có thể nói rằng √ (25) = 5.
   • Bạn cũng có thể coi thao tác này như một cách để "hoàn tác" độ cao hình vuông. Ví dụ, nếu chúng ta cần tìm √ (64), căn bậc hai của 64, chúng ta nên nghĩ 64 là 8. Vì căn bậc hai về cơ bản "hủy" một bình phương độ cao, chúng ta có thể nói rằng √ (64) = √ (8) = 8.

3. 

   
   
   Hiểu sự khác biệt giữa số bình phương hoàn hảo và số bình phương không hoàn hảo. Cho đến nay, câu trả lời cho các bài toán về căn bậc hai của chúng ta là các số nguyên. Nó sẽ không luôn luôn xảy ra. Trên thực tế, kết quả của một hoạt động bức xạ đôi khi có thể dẫn đến những số thập phân dài và phức tạp. Nếu căn của một số là số nguyên, nghĩa là, nếu nó không phải là phân số hoặc thập phân, nó sẽ được gọi là ô vuông hoàn hảo. Tất cả các ví dụ được hiển thị ở trên (9, 25 và 64) là bình phương hoàn hảo vì gốc của chúng là số nguyên (3, 5 và 8, tương ứng).
   • Mặt khác, các số có gốc không phải là toàn bộ được gọi là hình vuông không hoàn hảo. Khi tính căn của một trong những số này, chúng ta sẽ thu được kết quả thường là phân số hoặc thập phân. Đôi khi, các số thập phân liên quan có thể khá phức tạp, như trong ví dụ: √ (13) = 3,605551275464...

4. 

   
   
   Ghi nhớ ít nhất 12 ô vuông hoàn hảo đầu tiên. Như chúng tôi đã trình bày, tính căn bậc hai của một số có thể rất dễ dàng! Vì vậy, điều quan trọng là dành thời gian để ghi nhớ các căn bậc hai của một chục bình phương hoàn hảo đầu tiên. Chúng có xu hướng xuất hiện nhiều trong các bài kiểm tra, vì vậy việc ghi nhớ chúng có thể giúp bạn tiết kiệm rất nhiều thời gian. 12 hình vuông hoàn hảo đầu tiên là:
   • 1 = 1 × 1 = 1
   • 2 = 2 × 2 = 4
   • 3 = 3 × 3 = 9
   • 4 = 4 × 4 = 16
   • 5 = 5 × 5 = 25
   • 6 = 6 × 6 = 36
   • 7 = 7 × 7 = 49
   • 8 = 8 × 8 = 64
   • 9 = 9 × 9 = 81
   • 10 = 10 × 10 = 100
   • 11 = 11 × 11 = 121
   • 12 = 12 × 12 = 144

5. 

   Khi có thể, hãy đơn giản hóa bộ rễ bằng cách loại bỏ các ô vuông hoàn hảo. Việc tìm căn bậc hai của các hình vuông không hoàn hảo có thể khá phức tạp, đặc biệt nếu không có sẵn máy tính (trong các phần dưới đây, bạn sẽ học các thủ thuật để đơn giản hóa quy trình). Tuy nhiên, đôi khi có thể đơn giản hóa các số bên trong gốc để thực hiện các phép tính dễ dàng hơn. Chỉ cần chia số bên trong căn thành thừa số, sau đó tính căn của các thừa số là bình phương hoàn hảo và viết câu trả lời bên ngoài căn. Điều này dễ dàng hơn vẻ ngoài của nó. Xem bên dưới để hiểu rõ hơn!
   • Giả sử bạn cần tìm gốc của 900. Ban đầu, nó có vẻ là một nhiệm vụ khá khó khăn! Mọi thứ dễ dàng hơn nhiều nếu chúng ta chia 900 thành các thừa số. Các thừa số của một số “x” là một tập hợp các số mà nếu nhân với nhau, kết quả là “x”. Ví dụ, chúng ta có thể nhận được 6 bằng cách nhân 1 × 6 và 2 × 3, do đó các thừa số của 6 là 1, 2, 3 và 6.
   • Thay vì làm việc với 900, có thể hơi lạ, thay vào đó hãy viết nó là 9 × 100. Bây giờ, vì 9, là một hình vuông hoàn hảo, được tách ra từ 100, chúng ta có thể tính căn bậc hai của nó. √ (9 × 100) = √ (9) × √ (100) = 3 × √ (100). Tức là, √ (900) = 3√(100).
   • Chúng ta vẫn có thể đơn giản hóa thêm hai lần nữa, chia 100 thành các thừa số 25 và 4. √ (100) = √ (25 × 4) = √ (25) × √ (4) = 5 × 2 = 10. Vì vậy, chúng ta có thể nói rằng √ (900) = 3 (10) = 30.

6. 

   Sử dụng số tưởng tượng để tính căn của số âm. Hãy tự hỏi, số nào nhân với chính nó cho kết quả là -16? Nó không phải là 4 hoặc -4, vì bình phương của hai số này là 16. Chúng ta có nên bỏ cuộc không? Trên thực tế, không có cách nào để viết căn bậc hai của -16 hoặc bất kỳ số âm nào khác mà chỉ sử dụng số thực. Trong những trường hợp như vậy, chúng ta phải sử dụng các số tưởng tượng (thường ở dạng chữ cái hoặc ký hiệu) để thay thế căn bậc hai của một số âm. Ví dụ, biến "i" được sử dụng để biểu thị căn bậc hai của -1. Theo quy tắc chung, gốc của một số âm sẽ luôn là (hoặc ít nhất là bao gồm) một số ảo.
   • Hãy nhớ rằng, mặc dù số ảo không thể được biểu diễn bằng số thực, chúng vẫn có thể được coi như vậy theo một số cách. Ví dụ: gốc của một số âm “-x”, nếu được bình phương, cũng cho kết quả là “-x”, giống như bất kỳ gốc nào khác. Đó là, tôi = -1

Phần 2/3: Sử dụng các phương pháp giống như phân chia dài

1. 

   Xử lý bài toán căn bậc hai như thể nó là một phép chia dài. Mặc dù hơi mất công, bạn có thể tìm căn bậc hai của các số bình phương không hoàn hảo phức tạp mà không cần sử dụng máy tính. Phương pháp (hoặc thuật toán) tương tự (nhưng không giống) với phép chia dài. Phép chia dài là phương pháp truyền thống được sử dụng để tính toán các phép chia bằng tay.
   • Bắt đầu với định vị ban đầu của vấn đề, sẽ tương tự như phân chia dài. Ví dụ, giả sử bạn cần tìm căn của 6,45, chắc chắn không phải là một hình vuông hoàn hảo. Đầu tiên, chúng tôi viết một ký hiệu căn bậc hai (√) và sau đó chúng tôi đặt số của chúng tôi bên trong nó. Sau đó, chúng ta phải tạo một đường thẳng từ ký hiệu √ cho đến khi nó bao phủ toàn bộ số, để nó bên trong một hộp tương tự như hộp có vạch chia dài. Sự khác biệt là ở đây, câu trả lời sẽ nằm trên ô đó, không phải ở dưới như trong cách chia truyền thống. Khi chúng ta hoàn thành, chúng ta sẽ có một dấu "√" kéo dài, bao gồm toàn bộ số 6,45.
   • Hãy viết số vào ô này, vì vậy hãy để trống.

2. 

   Nhóm các chữ số thành từng cặp. Để bắt đầu giải quyết vấn đề, hãy nhóm các chữ số của số bên trong thân thành từng cặp, bắt đầu bằng dấu thập phân. Bạn có thể tạo các dấu nhỏ (chẳng hạn như dấu chấm, dấu thanh, dấu phẩy, v.v.) giữa các cặp để phân tách chúng.
   • Trong ví dụ của chúng tôi, chúng tôi nên chia 6,45 thành ba cặp, như sau: 6-,45-00. Thấy rằng có một chữ số nhỏ hơn ở phía bên trái, không có vấn đề với điều đó.

3. 

   Tìm số lớn nhất có bình phương nhỏ hơn hoặc bằng giá trị của "nhóm" đầu tiên. Bắt đầu với cặp số đầu tiên ở phía bên trái. Chọn số lớn nhất có bình phương nhỏ hơn hoặc bằng "nhóm". Ví dụ, nếu nhóm là 37, hãy chọn 6, vì 6 = 36 <37 nhưng 7 = 49> 37. Viết số này phía trên nhóm đầu tiên. Đây là chữ số đầu tiên của câu trả lời.
   • Trong ví dụ của chúng tôi, nhóm đầu tiên trong 6-, 45-00 là 6. Số lớn nhất đầu tiên có bình phương nhỏ hơn hoặc bằng 6 là 2, bởi vì 2 = 4. Viết "2" trên 6 nằm bên trong căn.

4. 

   Nhìn vào chữ số đầu tiên của câu trả lời (số chúng ta vừa tìm được) và nhân nó với hai. Bây giờ, viết kết quả bên dưới nhóm đầu tiên và thực hiện một phép trừ để tìm sự khác biệt. Sau đó, cuộn xuống cặp số tiếp theo, thêm chúng vào sự khác biệt mà chúng tôi vừa tìm thấy. Cuối cùng, viết chữ số cuối cùng gấp đôi chữ số đầu tiên của câu trả lời ở phía bên trái và để lại một khoảng trống bên cạnh nó.
   • Trong ví dụ của chúng tôi, bước đầu tiên sẽ là tìm nhân đôi của 2, là chữ số đầu tiên của câu trả lời. 2 × 2 = 4. Sau đó, chúng ta phải trừ 4 cho 6 ("nhóm" đầu tiên của chúng ta), thu được 2 là một đáp số. Bây giờ, chúng ta cần xuống nhóm tiếp theo (45) để có 245. Cuối cùng, chúng ta viết 4 lần nữa vào bên trái, để lại một khoảng trống nhỏ ở phía bên phải, như thế này: 4_.

5. 

   Điền vào chỗ trống. Bây giờ, chúng ta cần đặt một chữ số vào chỗ trống bên cạnh số chúng ta viết ở bên trái. Chọn chữ số mà khi nhân với số ở bên trái với khoảng trống được thay bằng chính nó, có giá trị lớn nhất, nhưng nhỏ hơn số ở bên phải. Điều này có vẻ hơi phức tạp, vì vậy hãy xem một số ví dụ để hiểu. Nếu số giảm xuống, tức là số ở bên phải, là 1700 và số ở bên phải là 40_, chúng ta sẽ điền vào chỗ trống với số 4, vì 404 × 4 = 1616 <1700 và 405 × 5 = 2025 Số được tìm thấy trong bước này sẽ là chữ số thứ hai của câu trả lời, vì vậy bạn có thể thêm nó vào phía trên biểu tượng gốc.
   • Trong ví dụ của chúng tôi, chúng tôi cần tìm số để điền vào khoảng trống trong 4_ × _ khiến câu trả lời càng lớn càng tốt, nhưng nhỏ hơn hoặc bằng 245. Trong trường hợp của chúng tôi, câu trả lời là 5vì 45 × 5 = 225 và 46 × 6 = 276.

6. 

   Tiếp tục sử dụng các con số điền vào chỗ trống để soạn câu trả lời. Tiếp tục phương pháp chia dài đã sửa đổi này cho đến khi bạn bắt đầu nhận được các số không bằng cách trừ số giảm dần từ số căn hoặc cho đến khi bạn đạt đến mức độ chính xác mong muốn. Khi hoàn thành, các số được sử dụng để điền vào chỗ trống ở mỗi bước (và tất nhiên, số đầu tiên chúng tôi sử dụng) sẽ tạo thành các chữ số trả lời.
   • Tiếp tục ví dụ của chúng tôi, chúng tôi sẽ trừ 225 từ 245 để được 20. Sau đó, chúng tôi sẽ giảm bớt cặp chữ số 00 để có 2000. Bằng cách nhân đôi các số trên căn, chúng tôi có 25 × 2 = 50. Bằng cách đặt số trống thành 50_ × _ = / <2.000, chúng tôi nhận được 3. Tại thời điểm này, chúng ta có "253" về căn nguyên. Lặp lại quá trình một lần nữa, chúng ta nhận được số 9 là chữ số tiếp theo.

7. 

   Đặt dấu phẩy vào đúng vị trí trong câu trả lời. Để kết thúc câu trả lời, chúng ta vẫn cần đặt dấu chấm thập phân vào đúng vị trí. Phần này rất dễ: chỉ cần đặt dấu phẩy trong câu trả lời ở cùng vị trí với dấu phẩy trong số bên trong căn. Ví dụ, nếu số bên trong căn là 49,8, chỉ cần đặt dấu phẩy vào câu trả lời tại vị trí tương ứng với một bên dưới, nghĩa là, giữa hai số trên 9 và 8.
   • Trong ví dụ của chúng tôi, số bên trong căn là 6,45. Để có câu trả lời, chỉ cần đặt dấu phẩy giữa các số trên 6 và 4, trong trường hợp này là 2 và 5, để nhận được câu trả lời: 2,539.

Phần 3/3: Ước tính nhanh các hình vuông không hoàn hảo

1. 

   Tìm câu trả lời thông qua một ước tính. Khi bạn biết gốc của một số hình vuông hoàn hảo, việc tìm gốc của các hình vuông không hoàn hảo sẽ dễ dàng hơn rất nhiều. Trong bước trước, chúng tôi khuyên bạn nên ghi nhớ ít nhất mười hai hình vuông hoàn hảo đầu tiên và gốc của chúng. Tin tốt là chúng ta có thể sử dụng ước lượng để lấy gần đúng căn bậc hai của một hình vuông không hoàn hảo nằm giữa hai hình vuông hoàn hảo mà chúng ta biết. Để làm được điều đó, chúng ta cần tìm hình vuông hoàn hảo đầu tiên lớn hơn số mong muốn và hình vuông cuối cùng nhỏ hơn, sao cho số được đề cập nằm giữa hai số đó. Sau đó, chúng ta cần cố gắng tìm xem trong hai hình vuông hoàn hảo này mà gốc của số mong muốn gần nhất với.
   • Ví dụ, giả sử chúng ta cần tìm căn bậc hai của 40. Vì chúng ta ghi nhớ những bình phương hoàn hảo của mình, chúng ta có thể nói rằng 40 nằm trong khoảng từ 6 đến 7, tức là từ 36 đến 49. Vì 40 lớn hơn 6, căn bậc hai của bạn sẽ là lớn hơn 6. Tương tự như vậy, vì nó nhỏ hơn 7 nên gốc của nó sẽ nhỏ hơn 7. 40 gần 36 hơn 49 một chút, vì vậy câu trả lời của chúng ta có thể sẽ gần hơn với 6. Trong các bước tiếp theo , chúng tôi sẽ tăng độ chính xác của ước tính của mình.

2. 

   Tăng độ chính xác đến một chữ số thập phân. Khi bạn đã tìm thấy hai hình vuông hoàn hảo liên tiếp tạo thành một phạm vi chứa số của bạn, chỉ cần cố gắng tăng độ chính xác của ước tính đến một điểm mà bạn cho là thỏa đáng. Càng nhiều nỗ lực để cải thiện ước tính, độ chính xác càng cao. Để bắt đầu, hãy ước tính giá trị của vị trí thập phân đầu tiên. Ước tính này không nhất thiết phải đúng, nhưng sử dụng logic để chọn một giá trị có khả năng gần nhất với câu trả lời sẽ tạo điều kiện thuận lợi cho quá trình.
   • Trong ví dụ của chúng tôi, một ước tính có thể chấp nhận được cho căn bậc hai của 40 có thể là 6,4, bởi vì chúng ta đã biết rằng câu trả lời có thể gần 6 hơn 7 một chút.

3. 

   Nhân ước tính với chính nó. Trừ khi bạn rất may mắn, kết quả sẽ không phải là số bắt đầu (trong ví dụ của chúng tôi là 40). Bạn sẽ cần điều chỉnh ước tính để đến gần câu trả lời chính xác hơn.Nếu kết quả cao hơn số bắt đầu (nghĩa là trên 40), hãy thử ước tính thấp hơn. Tương tự như vậy, nếu kết quả thấp hơn con số mong muốn, hãy tăng ước tính.
   • Nhân 6,4 với chính nó để được 6,4 × 6,4 = 40,96, cao hơn một chút so với con số ban đầu của chúng tôi.
   • Bây giờ, vì ước tính của chúng tôi chỉ cao hơn giá trị chính xác, vì vậy hãy giảm nó đi một phần mười để có 6,3 × 6,3 = 39,69. Bây giờ kết quả hơi ít hơn con số ban đầu của chúng tôi. Điều này có nghĩa là gốc của 40 là một số từ 6,3 đến 6,4. Hơn nữa, vì 39,69 gần với 40 hơn 40,96, chúng ta biết rằng gốc sẽ gần với 6,3, không phải 6,4.

4. 

   Tiếp tục cải thiện ước tính nếu cần thiết. Tại thời điểm này, nếu bạn hài lòng với câu trả lời, hãy sử dụng một trong những giá trị gần đúng đầu tiên làm ước tính. Tuy nhiên, nếu bạn cần câu trả lời chính xác hơn, chỉ cần cố gắng ước tính vị trí thập phân thứ hai, chọn một giá trị giữa hai giá trị trước (nghĩa là từ 6,3 đến 6,4). Sử dụng phương pháp này, chúng tôi có thể ước tính ba chữ số thập phân, bốn, năm, v.v., chỉ phụ thuộc vào độ chính xác cần thiết cho câu trả lời.
   • Trong ví dụ của chúng tôi, chúng tôi có thể chọn 6,33 để ước tính của chúng tôi đến hai chữ số thập phân. Nhân 6,33 với chính nó để được 6,33 × 6,33 = 40,0689. Vì kết quả này cao hơn một chút so với số ban đầu của chúng tôi, chúng tôi có thể chọn giá trị thấp hơn một chút, chẳng hạn như 6,32. Trong trường hợp này, 6,32 × 6,32 = 39,9424, kết quả thấp hơn một chút so với số bắt đầu. Do đó, chúng ta có thể kết luận rằng gốc chính xác của 40 là từ 6,32 đến 6,33. Nếu cần, chúng ta có thể tiếp tục phương pháp này để thu được các giá trị gần đúng ngày càng chính xác với gốc của số mong muốn.

Lời khuyên

• Nếu bạn cần sửa nhanh, hãy sử dụng máy tính bỏ túi. Hầu hết các máy tính hiện đại có thể tính toán căn bậc hai ngay lập tức. Nói chung, chỉ cần gõ một số bất kỳ và nhấn nút có biểu tượng căn bậc hai. Ví dụ, để tìm gốc của 841, chỉ cần nhấn 8, 4, 1 rồi nhấn (√) để nhận được câu trả lời: 39.