NộI Dung

• Các bước
• Lời khuyên
• Cảnh báo

Trước khi có máy tính, cả học sinh và giáo viên đều phải tính các căn bậc hai bằng tay. Một số phương pháp đã phát triển để đối phó tốt hơn với quá trình đáng sợ này, một số mang lại giá trị gần đúng và một số khác thì giá trị chính xác hơn. Để tìm hiểu cách tính căn bậc hai bằng tay bằng các phép toán đơn giản, hãy đọc Bước 1 để bắt đầu.

Các bước

Phương pháp 1/2: Sử dụng thừa số nguyên tố

1. 

   Chia số cho các thừa số bình phương hoàn hảo. Phương pháp này sử dụng các thừa số của một số để tính căn bậc hai (tùy thuộc vào giá trị, nó có thể là một câu trả lời chính xác hoặc ước tính). Bạn các nhân tố của một số là bất kỳ tập hợp nào của các số khác nhân lên để đạt được nó. Ví dụ, bạn có thể nói các yếu tố là gì và tại sao. Mặt khác, bình phương hoàn hảo là các số nguyên là kết quả của phép nhân giữa các số nguyên khác. Các giá trị, và, ví dụ, là các hình vuông hoàn hảo vì chúng có thể được biểu diễn bằng và, tương ứng. Các yếu tố hình vuông hoàn hảo, như bạn có thể tưởng tượng, cũng là các hình vuông hoàn hảo. Để bắt đầu tìm căn bậc hai thông qua thừa số nguyên tố, hãy giảm các giá trị thành thừa số bình phương hoàn hảo của bạn.
   • Trong một ví dụ, bạn sẽ phải tính căn bậc hai của bàn tay. Để bắt đầu, chỉ cần chia giá trị thành các hệ số bình phương hoàn hảo của bạn. Vì nó là bội số của nó, người ta vẫn biết rằng nó chia hết cho - một hình vuông hoàn hảo. Một sự phân chia tinh thần nhanh chóng sẽ khiến bạn thấy rằng nó khớp với thời gian trong con số, tình cờ cũng là một hình vuông hoàn hảo. Do đó, các yếu tố bình phương hoàn hảo của sẽ là và tại sao.
   • Giai đoạn đầu của bài tập sẽ được viết là:

2. 

   
   
   Tính các căn bậc hai của các thừa số bình phương hoàn hảo. Thuộc tính của tích căn bậc hai nói rằng, với bất kỳ giá trị và dữ liệu nào,. Do đó, bây giờ có thể trích xuất căn bậc hai của các thừa số và nhân chúng để đi đến câu trả lời.
   • Trong ví dụ được đề cập, căn bậc hai của và sẽ được trích xuất như sau:

3. 

   
   
   Giảm giá trị kết quả đến các điều kiện đơn giản nhất của nó, nếu không thể tính toán nó một cách hoàn hảo. Trong thực tế, các con số không chắc là hoàn hảo và chính xác với các yếu tố cũng là hình vuông hoàn hảo (như). Trong những trường hợp như vậy, có thể không đưa ra được câu trả lời chính xác. Thay vào đó, bằng cách xác định các yếu tố có thể là bình phương hoàn hảo, bạn có thể tính toán câu trả lời dựa trên căn bậc hai nhỏ hơn, đơn giản hơn và dễ tính hơn. Chỉ cần giảm số lượng đến sự kết hợp của các yếu tố là hình vuông hoàn hảo với các yếu tố khác không. Sau đó, đơn giản hóa kết quả.
   • Giả sử căn bậc hai của được sử dụng làm ví dụ. Số này không phải là tích của hai hình vuông hoàn hảo, vì vậy không thể đạt đến giá trị nguyên như trường hợp trước. Tuy nhiên, nó là sản phẩm giữa một hình vuông hoàn hảo và một số khác - e. Dữ liệu này sẽ được sử dụng để thúc đẩy việc tìm kiếm câu trả lời theo các thuật ngữ đơn giản nhất, như sau:

4. 

   
   
   Nếu cần, hãy lập các ước tính. Với căn bậc hai theo nghĩa đơn giản nhất, sẽ đơn giản hơn để ước lượng một phản ứng số bằng cách quy định giá trị của căn bậc hai còn lại và nhân các giá trị thích hợp. Một cách để hướng dẫn bạn thông qua các ước lượng này là tìm các ô vuông hoàn hảo bên cạnh số trong căn bậc hai. Bạn sẽ biết rằng các chữ số thập phân của số đó sẽ nằm giữa hai giá trị này và do đó, sẽ dễ dàng hơn để xác định những gì tồn tại giữa chúng.
   • Quay trở lại ví dụ và là e, bạn có thể thấy rằng nó nằm giữa e - và có lẽ gần với số lớn hơn. Khi ước lượng bạn sẽ thấy rằng. Chỉ cần kiểm tra hoạt động với sự hỗ trợ của máy tính và bạn sẽ nhận thấy rằng bạn đã đến rất gần với câu trả lời đúng ().
     • Điều này cũng hoạt động với số lượng lớn hơn. Ví dụ, có thể ước tính rằng nó nằm giữa và (có thể gần với số lớn hơn). Nếu e và nằm giữa cả hai giá trị, rất có thể căn bậc hai của nó cũng nằm giữa và. Lưu ý rằng đó là một bước nhỏ nữa, bạn có thể tự tin tuyên bố rằng căn bậc hai của bạn là Sớm dưới giá trị. Khi thực hiện phép tính trên máy tính, bạn đi đến kết quả - giả định là đúng.

5. 

   Đầu tiên, giảm số lượng thành nhiều mức tối thiểu chung. Không nhất thiết phải tìm thừa số là bình phương hoàn hảo nếu bạn có thể xác định thừa số nguyên tố của một số (nghĩa là cũng là số nguyên tố). Viết giá trị được đề cập dựa trên bội số chung tối thiểu. Tiếp theo, hãy tìm các cặp số nguyên tố trùng khớp với nhau. Khi bạn tìm thấy hai tùy chọn đáp ứng các yêu cầu này, hãy đưa chúng ra khỏi căn bậc hai và đặt a của họ bên ngoài.
   • Ví dụ, hãy thử tìm căn bậc hai của bằng phương pháp này. Nó được biết rằng và điều đó. Do đó, có thể viết căn bậc hai dưới dạng thừa số của nó:. Chỉ cần lấy hai hiện tại bên trong gốc và đặt một trong số chúng ở bên ngoài để đi đến các thuật ngữ đơn giản nhất:. Từ đây, thật dễ dàng để ước tính.
   • Ví dụ cuối cùng, hãy thử tính căn bậc hai của:
     • 
       Ở đây có một số giá trị bên trong căn bậc hai - vì nó là số nguyên tố, chỉ cần lấy một trong các cặp và đặt một trong các đơn vị ở bên ngoài.
     • Kết quả là, căn bậc hai trong các thuật ngữ đơn giản nhất của nó sẽ là hoặc. Từ đây, bạn có thể ước tính các giá trị của và nếu bạn muốn.

Phương pháp 2/2: Tính toán gốc hình vuông theo cách thủ công

1. 

   Đầu tiên, tách các khoảng trắng khỏi số theo từng cặp. Phương pháp này sử dụng một quy trình tương tự như phép chia dài để tính căn bậc hai chính xác, từng nhà một. Mặc dù không quan trọng nhưng bạn có thể thấy rằng quá trình này dễ dàng hơn khi nó được tổ chức trực quan và số lượng được chia thành các phần. Việc đầu tiên cần làm là vẽ một đường thẳng đứng ngăn cách khu vực làm việc thành hai vùng, sau đó tạo một đường ngang nhỏ hơn gần phía trên bên phải để có một phần nhỏ ở trên cùng và một phần lớn ở dưới cùng. Bây giờ, hãy tách các khoảng trắng khỏi số thành từng cặp bắt đầu bằng dấu phẩy: ví dụ: theo quy tắc này, sẽ trở thành. Viết giá trị ở trên cùng của khoảng trống bên trái.
   • Trong một ví dụ, hãy thử tính căn bậc hai của. Tạo hai dòng để chia vùng làm việc như trong trường hợp trước và viết vào phần trên của khoảng trống bên trái, và đừng lo lắng nếu chỉ có một số duy nhất ở bên trái thay vì một cặp. Bạn phải viết câu trả lời () vào vùng phía trên bên phải.

2. 

   Tìm xem số nguyên lớn nhất có bình phương nhỏ hơn hoặc bằng số (hoặc cặp số) bên trái. Bắt đầu với phần ngoài cùng bên trái của số của bạn, cho dù đó là một cặp hay một giá trị riêng biệt. Xác định hình vuông hoàn hảo lớn nhất nhỏ hơn hoặc bằng số đó và lấy căn bậc hai của nó: giá trị này được biểu thị bằng. Viết nó xuống khoảng trống phía trên bên phải và viết hình vuông của bạn ở góc phần tư phía dưới bên phải.
   • Trong ví dụ, phần ngoài cùng bên trái là số. Như đã biết, có thể phát biểu rằng, vì nó là giá trị nguyên lớn nhất mà bình phương của nó nhỏ hơn hoặc bằng. Viết trong góc phần tư trên - đây sẽ là hình vuông đầu tiên của kết quả. Sau đó, viết (bình phương của) ở góc phần tư phía dưới bên phải - giá trị này sẽ rất quan trọng cho bước tiếp theo.

3. 

   Trừ đi số cặp mới được tính toán ở bên trái. Như trong phép chia dài, bước tiếp theo là lấy phần vừa học trừ đi bình phương vừa tìm được. Viết giá trị này dưới phần đầu tiên và thực hiện phép trừ thích hợp, viết câu trả lời bên dưới.
   • Trong ví dụ, một cái sẽ được đặt bên dưới cái để thực hiện phép trừ. Câu trả lời ở đây sẽ là bằng.

4. 

   Đi xuống cặp tiếp theo. Di chuyển phần tiếp theo của số nghiên cứu xuống bên cạnh giá trị bị trừ mà bạn vừa tìm thấy. Sau đó nhân giá trị ở trên cùng bên phải với và viết câu trả lời vào góc phần tư phía dưới bên phải. Bây giờ chỉ cần tách một khoảng trắng cho bài toán nhân trong bước tiếp theo:.
   • Trong ví dụ, cặp tiếp theo có sẵn là. chỉ cần nhìn vào nó gần góc phần tư phía dưới bên trái. Sau đó, nhân giá trị với và lấy nó, sao cho. Viết ở góc dưới bên phải, sau đó là.

5. 

   Điền vào chỗ trống trong góc phần tư bên phải. Mỗi người trong số họ bây giờ sẽ có cùng một số nguyên. Nó phải là số lớn nhất cho phép kết quả của phép nhân ở bên phải nhỏ hơn hoặc bằng số hiện có ở bên trái.
   • Trong ví dụ điền vào chỗ trống được kết quả:. Đây là một giá trị lớn hơn. Theo cách đó, nó quá lớn, nhưng nó có thể sẽ làm được. Viết vào ô trống và tiến hành:. Nó được xác nhận rằng nó đáp ứng nhu cầu bởi vì, sau đó viết số ở góc phần tư phía trên bên phải. Đây là bình phương thứ hai trong căn bậc hai của.

6. 

   Trừ giá trị đã tính cho số bây giờ ở bên trái. Tiếp tục trừ theo kiểu tương tự như phép chia dài. Lấy kết quả của bài toán nhân ở góc phần tư bên phải và trừ nó cho giá trị hiện ở bên trái, đặt câu trả lời của bạn ngay bên dưới.
   • Trong ví dụ, nó sẽ được trừ đi, dẫn đến.

7. 

   Lặp lại bước 4. Cuộn xuống phần tiếp theo của số có căn bậc hai đang được tính. Khi bạn đến dấu phẩy, hãy viết số thập phân trong câu trả lời ở góc phần tư phía trên bên phải. Sau đó, nhân giá trị ở trên cùng bên phải và viết phép toán bằng màu trắng () như trước đó.
   • Trong ví dụ, vì dấu phẩy hiện đang đến, hãy viết nó ngay sau câu trả lời hiện tại ở trên cùng bên phải. Sau đó di chuyển xuống cặp tiếp theo () ở góc phần tư bên trái. Bằng cách nhân với giá trị ở trên cùng bên phải (), bạn nhận được - viết vào góc phần tư dưới cùng bên phải.

8. 

   Lặp lại các bước 5 và 6. Tìm giá trị thập phân lớn nhất có thể điền vào ô trống bên phải cho kết quả nhỏ hơn hoặc bằng số hiện ở bên trái. Sau đó, chỉ cần chuyển sang vấn đề.
   • Trong ví dụ,, nhỏ hơn hoặc bằng số bên trái (). Quan sát rằng, quá cao, bạn đi đến kết luận rằng đó là câu trả lời bạn đang tìm kiếm. Viết nó dưới dạng chữ số thập phân tiếp theo ở góc phần tư phía trên bên phải và trừ kết quả của phép nhân số ở bên trái:.

9. 

   Tiếp tục tính các chữ số thập phân. Thả một cặp số không ở bên trái và lặp lại Bước 4, 5 và 6. Để có độ chính xác cao hơn nữa, hãy tiếp tục lặp lại quy trình cho đến khi bạn tìm thấy phần trăm, phần nghìn, v.v. trong câu trả lời của mình. Chỉ cần tiếp tục trong chu kỳ này cho đến khi bạn đạt được kết quả ở vị trí thập phân mong muốn.

Hiểu quy trình

1. 

   Xác định số có căn bậc hai sẽ được tính là diện tích của một hình vuông. Vì diện tích này có một công thức, trong đó nó đại diện cho độ dài của một trong các cạnh của nó, khi cố gắng tìm căn bậc hai của giá trị của nó, bạn đang cố gắng tính độ dài của hình vuông được đề cập.

2. 

   Chỉ định các biến cho mỗi vị trí thập phân trong câu trả lời của bạn. Đặt biến là vị trí thập phân đầu tiên của (căn bậc hai đang được tính), là thứ hai, là thứ ba, v.v.

3. 

   Gán các biến theo bảng chữ cái cho từng phần của số bắt đầu. Liên kết biến với cặp chữ số thập phân đầu tiên trong (giá trị ban đầu), cặp chữ số thập phân thứ hai, v.v.

4. 

   Hiểu mối liên hệ của phương pháp này với phép chia dài. Cách tính căn bậc hai này về cơ bản là một bài toán chia dài chia số bắt đầu cho căn bậc hai của nó, cho căn bậc hai của nó trong phản ứng. Đối với các bài toán chia dài, trong đó lãi được hướng đến một chữ số thập phân tại một thời điểm, ở đây bạn nên tập trung vào hai tại một thời điểm (tương ứng với chữ số thập phân căn bậc hai tiếp theo).

5. 

   Tìm số lớn nhất có bình phương nhỏ hơn hoặc bằng. Vị trí thập phân đầu tiên trong câu trả lời đại diện cho số nguyên lớn nhất có bình phương không vượt quá (như vậy). Trong ví dụ, và, vì vậy.
   • Trong một ví dụ, nếu bạn muốn chia bằng cách sử dụng phương pháp chia dài, bước đầu tiên sẽ tương tự: bạn nên tìm chữ số đầu tiên () và tìm số nguyên lớn nhất mà khi nhân với nó, kết quả sẽ nhỏ hơn hoặc bằng. Về cơ bản, nó là về việc tìm ra cách đó. Trong trường hợp này, nó sẽ bằng.

6. 

   Hình dung hình vuông có diện tích bạn muốn tính. Câu trả lời, là căn bậc hai của số bắt đầu, sẽ được biểu diễn bằng, mô tả độ dài của một hình vuông diện tích (số bắt đầu). Các giá trị và đại diện cho các vị trí thập phân có trong. Một cách khác để đưa ra định nghĩa này là phát biểu rằng, trong trường hợp câu trả lời có hai chữ số thập phân, trong trường hợp câu trả lời có ba chữ số thập phân, v.v.
   • Trong ví dụ ,. Hãy nhớ rằng nó đại diện cho câu trả lời với hàng đơn vị và hàng chục. Lấy và làm ví dụ, nó sẽ dẫn đến con số. Nếu nó thể hiện diện tích của hình vuông, nó thể hiện diện tích của hình vuông bên trong lớn nhất, thể hiện diện tích của hình vuông bên trong nhỏ nhất và biểu thị diện tích của mỗi hình chữ nhật còn lại. Khi thực hiện quá trình dài và phức tạp này, bạn sẽ có toàn bộ diện tích hình vuông trong tầm tay, chỉ cần thêm các diện tích được tính từ các hình vuông và hình chữ nhật bên trong.

7. 

   Trừ khỏi. Bỏ một cặp () chữ số thập phân. Biểu thức đại diện cho gần như toàn bộ diện tích của hình vuông, từ đó hình vuông bên trong lớn nhất bị trừ đi. Phần còn lại, đến lượt nó, có thể được biểu diễn bằng những gì thu được trong Bước 4 (trong ví dụ trên). Ở đây, (diện tích của cả hai hình chữ nhật cộng với diện tích của hình vuông nhỏ nhất).

8. 

   Tìm kiếm, cũng được viết là. Trong ví dụ, bạn đã biết () và (), và bây giờ cần phải tính giá trị của. Nó có thể sẽ không phải là một giá trị số nguyên, vì vậy bạn cần phải có thật không tính tổng thể lớn nhất thỏa mãn điều kiện. Cuối cùng, bạn sẽ còn lại với.

9. 

   Giải quyết các hoạt động. Để tiến hành, nhân với, thay đổi vị trí của hàng chục (tương đương với việc nhân giá trị với), đặt nó vào vị trí của đơn vị và nhân kết quả với. Nói cách khác, chỉ cần thực hiện thao tác. Nó cũng giống như khi viết (hiện hữu) ở góc phần tư phía dưới bên phải trong Bước 4. Đã ở Bước 5, lần lượt, bạn sẽ tìm thấy giá trị nguyên lớn nhất sẽ nằm trong khoảng trống thỏa mãn điều kiện.

10. 

    Trừ diện tích khỏi tổng diện tích. Điều này dẫn đến diện tích cho đến nay vẫn bị bỏ qua (và sẽ được sử dụng để tính các ô vuông tiếp theo theo cách tương tự).

11. 

    Để tính toán vị trí thập phân tiếp theo, chỉ cần lặp lại quy trình. Cuộn xuống cặp tiếp theo () để sang bên trái và tìm giá trị cao nhất thỏa mãn điều kiện (tương đương với việc viết hai lần giá trị với hai chữ số thập phân kèm theo. Tìm kiếm giá trị thập phân cao nhất có thể có trong ô trống mang lại kết quả nhỏ hơn hoặc bằng trước đây.

Lời khuyên

• Phương pháp này hoạt động với bất kỳ cơ số nào - không chỉ cơ số (thập phân).
• Trong ví dụ, một "phần còn lại" có thể được coi là:
  
• Một phương pháp thay thế sử dụng phân số liên tục theo công thức sau:
  
  Trong một ví dụ, để tính căn bậc hai của, số nguyên có bình phương gần nhất với số bắt đầu là e. Khi nhập các giá trị vào công thức và làm tròn ước tính, nó đã mang lại kết quả (giá trị nhỏ nhất), hoặc xấp xỉ (). Thuật ngữ tiếp theo sẽ là, hoặc khoảng (). Mỗi thuật ngữ bổ sung có thêm độ chính xác gần ba chữ số thập phân so với lần thử trước đó.

Cảnh báo

• Nhớ tách các chữ số thập phân theo từng cặp khỏi dấu phẩy. Chẳng hạn, sự tách biệt về cách thức sẽ mang lại kết quả vô ích.