NộI Dung

• Các bước
• Cảnh báo

Nhiều người nghĩ rằng nếu bạn tung ba viên xúc xắc lên sáu mặt, cơ hội nhận được cả ba và mười là như nhau. Tuy nhiên, không phải vậy và bài viết này sẽ hướng dẫn bạn cách tính giá trị trung bình và độ lệch chuẩn của một tập dữ liệu.

Tìm hiểu thuật ngữ của cơ học dữ liệu. Xúc xắc thường có sáu mặt, nhưng cũng thường được tìm thấy ở các dạng d2 (đồng xu), d4 (kim tự tháp ba mặt), d8 (bát diện), d10 (khối thập diện), d12 (khối đa diện) và d20 (khối đa diện). Một cuộn xúc xắc tuân theo định dạng (số lượng xúc xắc) (tên xác định dữ liệu), vì vậy 2d6 sẽ là một cuộn gồm hai viên xúc xắc sáu mặt. Trong bài viết này, một số công thức sẽ giả định rằng n = số lượng dữ liệu giống nhau và r = số mặt của mỗi ô, được đánh số từ 1 đến r, là k giá trị kết hợp. Có một số phương pháp để tính xác suất của mỗi tổng.

Các bước

Phương pháp 1/4: Liệt kê

1. 

   
   
   Lưu ý số lượng xúc xắc, các mặt của chúng và tổng mong muốn.

2. 

   Liệt kê tất cả các cách mà tổng có thể đạt được. Điều này có thể tẻ nhạt khi có một lượng lớn dữ liệu, nhưng nó khá đơn giản. Điều này tương đương với việc tìm tất cả các phân hoạch của k, trong đúng n phần, với không lớn hơn r. Ví dụ cho n = 5, r = 6 và k = 12 được hiển thị dưới dạng hướng dẫn. Để đảm bảo rằng số lượng là đầy đủ và không có gì được đếm hai lần, các phân vùng được trình bày theo thứ tự từ vựng và dữ liệu trong mỗi phân vùng theo thứ tự tăng dần.

3. 

   
   
   Không phải tất cả các phân vùng được liệt kê trong bước trước đều có khả năng như nhau. Đó là lý do tại sao chúng phải được liệt kê, không chỉ đơn giản là đếm. Trong một ví dụ với khuôn 3 mặt, phân vùng 123 bao gồm 6 khả năng (123, 132, 213, 231, 312, 321) trong khi phân vùng 114 chỉ bao gồm 3 (114, 141, 411) và 222 chỉ bao gồm chính nó. Sử dụng công thức đa thức để tính số cách đổi các chữ số trong mỗi phân hoạch. Thông tin này đã được thêm vào bảng trong phần trước.

4. 

   
   
   Cộng tổng số cách để có được số tiền mong muốn.

5. 

   Chia cho tổng số kết quả. Vì mỗi dữ liệu có r có khả năng như nhau, điều này đơn giản tương đương với r.

Phương pháp 2/4: Đệ quy

Phương pháp này cung cấp xác suất của tất cả các tổng cho tất cả các lượng dữ liệu. Nó có thể dễ dàng thực hiện trong một bảng tính.

1. 

   Lưu ý xác suất của kết quả đối với một dữ liệu duy nhất. Lưu vào bảng tính. Ví dụ được hiển thị sử dụng một khuôn 6 cạnh. Các dòng trống cho các giá trị âm được coi là số không và cho phép sử dụng cùng một công thức trên tất cả các dòng.

2. 

   Trong cột 2 viên xúc xắc, hãy sử dụng công thức được hiển thị. Tức là xác suất để 2 dữ liệu hiển thị tổng k bất kỳ bằng tổng của các sự kiện sau. Đối với các giá trị rất cao hoặc thấp của k, một số số hạng này (hoặc tất cả chúng) có thể bằng 0, nhưng công thức hợp lệ với mọi k.
   • Xúc xắc đầu tiên hiển thị k-1 và súc sắc thứ hai hiển thị 1.
   • Xúc xắc đầu tiên hiển thị k-2 và xúc xắc thứ hai hiển thị 2.
   • Xúc xắc đầu tiên hiển thị k-3 và xúc xắc thứ hai hiển thị 3.
   • Xúc xắc đầu tiên hiển thị k-4 và xúc xắc thứ hai hiển thị 4.
   • Xúc xắc đầu tiên hiển thị k-5 và xúc xắc thứ hai hiển thị 5.
   • Xúc xắc đầu tiên hiển thị k-6 và xúc xắc thứ hai hiển thị 6.

3. 

   Tương tự như vậy, đối với ba con xúc xắc trở lên, công thức tương tự vẫn được áp dụng, sử dụng các xác suất đã biết cho mỗi tổng đã cho với một con xúc xắc nhỏ hơn. Do đó, công thức đã nhập ở bước thứ hai có thể được điền vào bất kỳ đâu, cho đến khi bảng bao gồm nhiều dữ liệu nếu cần.

4. 

   Bảng tính được hiển thị đã tính toán số lượng biểu mẫu, không phải xác suất, nhưng việc chuyển đổi giữa chúng rất dễ dàng: xác suất = số dạng / r ^ n, là r số lượng các mặt của mỗi ô và n số lượng dữ liệu. Ngoài ra, bảng tính có thể được sửa đổi để tính xác suất trực tiếp.

Phương pháp 3/4: Tạo các hàm

1. 

   Viết đa thức (1 / r) (x + x + x). Đây là hàm tạo cho một dữ liệu duy nhất. Hệ số của số hạng x là xác suất để dữ liệu hiển thị k.

2. 

   Nâng đa thức này lên lũy thừa thứ n để có được hàm sinh tương ứng của tổng được chỉ ra trong n Xúc xắc. Đó là: (1 / r) (x + x + x). Nếu n lớn hơn khoảng 2, bạn có thể muốn thực hiện việc này trên máy tính.

3. 

   Về mặt tính toán, phương pháp này tương đương với phương pháp trước đây, nhưng các kết quả lý thuyết đôi khi dễ dàng hơn để tính toán với một hàm sinh. Ví dụ: chơi hai viên xúc xắc 6 mặt thông thường, chúng ta có cùng phân phối tổng chính xác như một viên xúc xắc có nhãn (1, 2, 2, 3, 3, 4) và một viên xúc xắc có nhãn (1, 3, 4, 5, 6, 8 ). Điều này là do (x + x + x + x + x + x) (x + x + x + x + x + x) = (x + x + x + x + x + x) (x + x + x + x) + x + x).

Phương pháp 4/4: Tiếp cận liên tục

1. 

   Đối với một lượng lớn dữ liệu, việc tính toán chính xác bằng các phương pháp trên có thể khó khăn. Định lý giới hạn trung tâm phát biểu rằng tổng của một chuỗi các dữ liệu giống nhau tiến tới một phân phối chuẩn khi số lượng dữ liệu tăng lên.

2. 

   Tính toán giá trị trung bình và độ biến thiên tiêu chuẩn dựa trên số lượng và loại dữ liệu. Giả sử rằng n dữ liệu được đánh số từ 1 đến r áp dụng cho các công thức dưới đây.
   • Giá trị trung bình là (r + 1) / 2.
   • Phương sai là n (r ^ 2-1) / 12.
   • Độ lệch chuẩn là căn bậc hai của phương sai.

3. 

   Sử dụng phân phối chuẩn với giá trị trung bình và độ lệch chuẩn ở trên làm giá trị xấp xỉ của tổng dữ liệu.

Cảnh báo

• Sử dụng nhiều hơn một kiểu dữ liệu sẽ làm phức tạp các phương pháp này. Trong trường hợp này, cách dễ nhất để xác định xác suất thường là liệt kê tất cả các kết quả có thể xảy ra và sắp xếp chúng theo thứ tự tăng dần theo tổng số của chúng.