NộI Dung

• Các bước
• Lời khuyên

Các nhà toán học và lập trình đồ họa thường cần tìm góc giữa hai vectơ. May mắn thay, công thức được sử dụng để tính toán góc này không yêu cầu gì hơn một tích vô hướng đơn giản. Mặc dù lý do đằng sau công thức này dễ hiểu hơn khi sử dụng vectơ hai chiều, chúng ta có thể dễ dàng điều chỉnh nó thành vectơ với bất kỳ số thành phần nào.

Các bước

Phần 1/2: Tính góc giữa hai vectơ

1. 

   Xác định hai vectơ. Viết tất cả các thông tin đã biết về hai vectơ. Với mục đích của hướng dẫn này, chúng tôi sẽ giả định rằng bạn chỉ biết các vectơ về tọa độ chiều của chúng (còn được gọi là các thành phần). Nếu bạn đã biết mô-đun hoặc là Tiêu chuẩn của các vectơ này (nghĩa là độ dài của chúng), bạn có thể bỏ qua một số bước bên dưới.
   • Ví dụ: chúng ta sẽ xem xét các vectơ hai chiều = (2,2) và = (0,3). Hai vectơ này có thể được viết lại thành = 2Tôi + 2j e = 0Tôi + 3j = 3j.
   • Mặc dù ví dụ của chúng tôi sử dụng hai vectơ hai chiều, chúng tôi có thể áp dụng các hướng dẫn sau cho vectơ với bất kỳ số thành phần nào.

2. 

   
   
   Viết công thức tính cosin. Để tìm giá trị của góc θ giữa hai vectơ bất kỳ, trước hết ta phải tính côsin của góc đó. Bạn có thể tìm kiếm và tìm ra công thức chi tiết hoặc chỉ cần viết nó như bên dưới:
   • cosθ = (•) / (|||| ||||)
   • |||| Đại diện cho mô-đun (hoặc độ dài) của vectơ ”.
   • • Đại diện cho sản phẩm vô hướng (hoặc tích trong) của hai vectơ.

3. 

   
   
   Tính môđun của mỗi vectơ. Hãy tưởng tượng một tam giác vuông được tạo thành bởi thành phần x của một vectơ, thành phần của nó y và chính vectơ. Trong tam giác này, vectơ đóng vai trò cạnh huyền; do đó, để tìm độ dài của nó, chúng ta sẽ áp dụng định lý Pitago. Kết quả là, công thức này có thể dễ dàng áp dụng cho các vectơ với bất kỳ số thành phần nào.
   • || u || = u₁ + u₂. Nếu vectơ có nhiều hơn hai thành phần, chỉ cần tiếp tục thêm + u₃ + u₄ +...
   • Do đó, đối với vectơ hai chiều, chúng ta sẽ phải || u || = √ (u₁ + u₂).
   • Trong ví dụ của chúng tôi, |||| = √ (2 + 2) = √ (8) = 2√2. |||| = √(0 + 3) = √(9) = 3.

4. 

   
   
   Tính tích vô hướng giữa hai vectơ. Bạn nên biết phương pháp nhân vectơ, còn được gọi là sản phẩm vô hướng. Để tính tích vô hướng của hai vectơ theo thành phần của chúng, ta nhân các thành phần cùng phương với nhau rồi cộng kết quả của các tích đó.
   • Nếu bạn làm việc với các chương trình đồ họa máy tính, trước tiên hãy truy cập phần "Mẹo" trước khi tiếp tục.
   • Về mặt toán học, • = u₁v₁ + u₂v₂, trong đó u = (u₁, u₂). Nếu vectơ của bạn có nhiều hơn hai thành phần, chỉ cần tiếp tục thêm + u₃v₃ + u₄v₄...
   • Trong ví dụ của chúng tôi, • = u₁v₁ + u₂v₂ = (2)(0) + (2)(3) = 0 + 6 = 6. Đây là giá trị của tích vô hướng giữa các vectơ và.

5. 

   Thay các kết quả này vào công thức cosin. Hãy nhớ rằng, cosθ = (•) / (|||| || ||). Chúng ta đã tính được tích vô hướng và môđun của hai vectơ. Bây giờ, hãy thay các giá trị này vào công thức và tính cosin của góc.
   • Trong ví dụ của chúng ta, cosθ = 6 / (2√2 * 3) = 1 / √2 = √2 / 2.

6. 

   Tìm góc dựa trên cosin của bạn.
   Sử dụng cung hoặc hàm cos của máy tính để xác định góc θ từ giá trị cosin của bạn. Trong một số trường hợp, bạn có thể tìm được giá trị góc dựa trên vòng tròn đơn vị.
   • Trong ví dụ của chúng tôi, cosθ = √2 / 2. Nhập "arccos (√2 ​​/ 2)" vào máy tính của bạn để tìm góc. Một lựa chọn khác là tìm góc θ của đường tròn đơn vị tại đó cosθ = √2 / 2: điều này sẽ đúng với θ = /₄ hoặc 45 °.
   • Kết hợp tất cả các thông tin lại với nhau, chúng ta sẽ có công thức cuối cùng θ = arccosine ((•) / (|||| || ||))

Phần 2/2: Xác định công thức tính góc

1. 

   Hiểu mục đích của công thức. Công thức chúng tôi sử dụng để tính góc giữa hai vectơ không được suy ra từ các quy tắc có từ trước; thay vào đó, nó được tạo ra như một định nghĩa về tích vô hướng giữa hai vectơ và góc giữa chúng. Tuy nhiên, quyết định này không phải là tùy tiện. Với một cái nhìn sâu hơn về hình học cơ bản, chúng ta có thể thấy tại sao công thức này dẫn đến các định nghĩa hữu ích và trực quan như vậy.
   • Các ví dụ sau sử dụng vectơ hai chiều vì chúng là loại trực quan nhất để làm việc. Các vectơ có ba chiều trở lên có các thuộc tính của chúng được xác định từ công thức chung (cũng theo một cách rất tương tự).

2. 

   Xem lại định luật côsin. Trong bất kỳ tam giác nào, xét góc θ tạo bởi các cạnh Các và B và bên ç đối diện với góc đó. Theo định luật côsin, c = a + b -2abdây thắt lưng(θ). Việc chứng minh công thức này có thể dễ dàng thu được từ kiến ​​thức về hình học cơ bản.

3. 

   Nối hai vectơ để tạo thành một tam giác. Vẽ một cặp vectơ và, với một góc θ giữa chúng. Sau đó, vẽ một vectơ thứ ba giữa chúng để tạo thành một tam giác. Nói cách khác, vẽ vectơ sao cho + =, hoặc đơn giản là = -.

4. 

   Áp dụng định luật côsin cho tam giác này. Thay thế chiều dài của các cạnh của tam giác vector (nghĩa là, môđun vectơ) trong công thức cho định luật cosin:
   • || (a - b) || = || a || + || b || - 2 || a || || b ||dây thắt lưng(θ)

5. 

   Viết lại công thức bằng tích vô hướng. Hãy nhớ rằng tích số chấm là sự phóng to của một vectơ được chiếu trên vectơ khác. Tích vô hướng của một vectơ tự nó không yêu cầu phép chiếu vì không có sự thay đổi về hướng. Điều này có nghĩa là • = || a ||. Dựa vào thông tin này, hãy viết lại phương trình của định luật côsin:
   • (-) • (-) = • + • - 2 || a || || b ||dây thắt lưng(θ)

6. 

   Đơn giản hóa công thức. Mở rộng các tích ở bên trái của phương trình và sau đó đơn giản hóa nó cho đến khi bạn đạt được công thức tính góc mà chúng ta biết.
   • • - • - • + • = • + • - 2 || a || || b ||dây thắt lưng(θ)
   • - • - • = -2 || a || || b ||dây thắt lưng(θ)
   • -2 (•) = -2 || a || || b ||dây thắt lưng(θ)
   • • = || a || || b ||dây thắt lưng(θ)

Lời khuyên

• Để giải nhanh, hãy áp dụng công thức sau cho bất kỳ cặp vectơ hai chiều nào: cosθ = (u₁ • v₁ + u₂ • v₂) / (√ (u₁ • u₂) • √ (v₁ • v₂)).
• Nếu bạn làm việc với các chương trình đồ họa máy tính, rất có thể bạn sẽ chỉ cần biết hướng của các vectơ chứ không phải độ dài của chúng. Làm theo các bước dưới đây để đơn giản hóa các phương trình và tăng tốc chương trình của bạn:
  • Chuẩn hóa mỗi vectơ, nghĩa là, tìm vectơ đơn vị có cùng hướng với vectơ ban đầu. Để làm điều này, hãy chia từng thành phần của vectơ cho môđun vectơ.
  • Tính tích vô hướng của các vectơ đã chuẩn hóa, không phải của các vectơ ban đầu.
  • Vì mô đun (nghĩa là độ dài) của các vectơ chuẩn hóa là đơn nhất, chúng ta có thể loại bỏ chúng ra khỏi công thức. Phương trình cuối cùng để tính toán các góc sẽ là cung (•).
• Dựa vào công thức của định luật côsin, chúng ta có thể nhanh chóng tìm ra góc được đề cập là góc nhọn hay góc tù. Bắt đầu bằng cosθ = (•) / (|||| ||||):
  • Vế trái và vế phải của phương trình phải cùng dấu (dương hoặc âm).
  • Vì độ dài luôn dương nên cosθ sẽ luôn cùng dấu với tích vô hướng.
  • Do đó, nếu tích vô hướng là dương thì cosθ sẽ dương. Điều này có nghĩa là góc nằm trong góc phần tư đầu tiên của đường tròn đơn vị, nghĩa là, θ <π / 2 hoặc 90 °. Do đó, góc là góc nhọn.
  • Nếu tích vô hướng là âm thì cosθ là âm. Điều này có nghĩa là góc nằm trong góc phần tư thứ hai của vòng tròn đơn vị, nghĩa là, π / 2 <θ ≤ π hoặc 90 ° <θ ≤ 180 °. Do đó, góc là góc tù.